Фараоновы батоги

Почему не изучены примеры чередования гласных а-и в корнях слов? Не найдены или плохо искали? Подсказкой мне стали фараоновы батоги (нехех) – один из символов власти с угрозой побития палками.

Фараоновы батоги породили универсальное боевое и трудовое орудие – цеп, для побития обидчиков и выбивания зерна из снопов.

Зацепившись за древнее русское слово «батоги», озадачился я происхождением группы слов с корнем <бат>. Нет порядка с этим корнем. Слово «батя» почему-то считается родившимся от «брат». Слово «батрак» оказалось нерусским по причине близости к татарскому диалектному слову «бАтырь» - подрядчик. «Батарея» выведена из французских или немецких слов в значении «бить». «Набат» оказался арабским детищем от nauba (стража).

Однако, если признать возможным чередование а-и, то корни <бат> и <бит> проявляют свои родственные связи и общий первосмысл «бить».

Баталия – битва.

Батальон, батарея, батыр – участники битв.

Батон – в переводе с французского оказалось палкой. Допускаю, что батон битьём и катанием из теста формовали.

Батрак – битый дурак, ударник наёмного труда.

Батя – авторитет, способный всех бить и «…бать» для поддержания порядка в семье, хозяйстве или вверенном воинском подразделении.

Набат – результат битья в колокола.

В Большом латинско-русском словаре нашлось слово «batuo» в значениях бить,  драться.

Совсем порадовало санскритское слово «bata» переведённое на русский язык междометиями «ох! ах! увы!», подходящими для стенаний изрядно побитого человека.

Такие совпадения коренных смыслов не случайны. При гораздо меньших совпадениях принимались неопровергаемые утверждения.

Следовательно, <бат> - древний индоевропейский корень с первосмыслом «бить». От него и «батоги» пошли.